Currículo
Equações Diferenciais Estocásticas e Aplicações EDEA-DMAEG
Contextos
Groupo: Matemática Aplicada à Economia e à Gestão > 3º Ciclo > Parte Escolar > Unidades Curriculares Optativas > Optativa 2
ECTS
10.0 (para cálculo da média)
Objectivos
equações diferenciais estocásticas (EDEs) para a análise e modelação de fenómenos que ocorrem em ambiente aleatório. Ao concluir esta UC o estudante deverá estar capaz de (i) conhecer as principais técnicas de simulação computacional (ii) conhecer os principais modelos de EDEs, estudar a existência, a unicidade e as propriedades das suas soluções (iii) aplicar os modelos anteriores a casos práticos nas áreas da biologia, ecologia, economia, gestão e finanças (iv) resolver analítica ou numericamente EDEs (v) estimar os parâmetros de modelos de EDEs (vi) estudar a relação entre EDEs e EDPs no âmbito do controlo ótimo estocástico
Programa
1. Simulação computacional a. Simulação de Monte Carlo b. Geração de números pseudoaleatórios c. Simulação de variáveis aleatórias d. Simulação de cadeias de Markov e. Integração de Monte Carlo f. Métodos de simulação avançados 2. Equações diferenciais estocásticas a. Existência e unicidade de soluções b. Taxonomia de EDEs, soluções e propriedades c. Propriedades de soluções e soluções como processos de Markov d. Estabilidade 3. Modelos de EDEs a. Aplicações ao crescimento populacional b. Aplicações às economia e gestão c. Aplicação às finanças 4. Aproximação e estimação de soluções de EDEs a. Esquemas iterativos de Euler-Maruyama e Milstein b. Transformação de Lamperti c. Linearização: Ozaki e Shoji-Ozaki d. Expansão de Taylor estocástica 5. Estimação de parâmetros de EDEs a. (Des)conhecendo a probabilidade de transição b. Método da máxima verosimilhança c. Mudança de variável 6. Controlo ótimo estocástico a. Definição do problema b. Estudo da existência e unicidade de soluções c. Solução via Equação de HJB d. Resolução numérica via diferenças finitas
Método de Avaliação
desenvolvimento de trabalho colaborativo entre os estudantes e uma forte interação dos estudantes entre eles e com o docente. Cada um dos 6 itens dos conteúdos apresentados no ponto 5 terá um período de trabalho entre 1 e 3 semanas, ao longo do qual serão propostos conjuntos de problemas para trabalho dos estudantes, organizados em grupos. As discussões em aula serão avaliadas e incentivadas, assim como a interação com o docente a fim de esclarecimento de dúvidas ou de eventuais explicações de conceitos, resultados ou técnicas. Para além da avaliação dos exercícios trabalhados em grupo e das intervenções nas aulas, haverá um exame final individual.
Carga Horária
Carga Horária de Contacto -
Trabalho Autónomo - 208.5
Carga Total -
Bibliografia
Principal
- “A First Course in Statistical Programming with R”: W.J. Braun, D.J. Murdoch 2016 Cambridge University Press, Cambridge
- “Stochastic Processes”: R.F. Bass 2011 Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, vol. 33, Cambridge University Press, Cambridge
- “Stochastic Differential Equations – An Introduction with Applications”: B. Øksendal 2003 Sixth edition, Springer-Verlag, New York